计算机动画HW1 - 路径曲线与运动物体控制

课程名称：计算机动画
实验项目名称：路径曲线与运动物体控制
实验日期：2020 年 9 月 27 日

code

https://github.com/YaelCassini/CA_HW1

video

https://www.bilibili.com/video/BV1T34y1B7WJ/

report

https://yaelcassini.github.io/2023/05/16/Cardinal-Spline/

一、实验目的和要求

设计并实现一个路径曲线，通过不同参数控制曲线状态，并实现对物体沿生成路线运动的控制。
通过上述实验内容，了解动画动态控制的基本原理何方法，提高动画编程能力。

二、实验内容和原理

选用 Cardinal 曲线表示运动路径，掌握它的表示和算法，了解不同控制参数对曲线形状和状态的影响。
编写代码实现 Cardinal 曲线算法，对照 cardinal 样条曲线的数学表示和程序之间的对应关系。
给定若干关键控制点的位置（这些控制点可以大致描述某个运动路径的形状），用上述程序计算出控制点之间的插值点，显示出样条曲线。
改变曲线弯曲程度的参数$τ∈[0，1]$大小和控制插值点数目的参数 grain ，观察曲线形状的变化。
在路径曲线上放置一小汽车，使其在沿生成的 cardinal 曲线运动，汽车速度和加速度可以调节。

三、实验平台

Qt 5.14.2 @ Windows

四、实验步骤

1. 首先，对照Cardinal 样条曲线的数学表达和程序中计算代码的对应关系。

Cardinal 样条曲线矩阵表示：
$$$ P(u) = U^T M B $$$
其中，u 是幂次最高为 3 的插值变量，且u∈[0,1]， M 是 Hermite 多项式矩阵，B 是曲线中，用户指定的关键点数据。其矩阵展开表示。
图片alt

其中，$P_i-1，P_i，P_i+1，P_i+2$，是用户指定的控制点控制点，参数τ 控制曲线的弯曲程度。
为了实现 Cardinal 样条曲线计算，创建 spline 类。

class spline
{
private:
    double *ax,*bx,*cx,*dx;//P(u)系数
    double *ay,*by,*cy,*dy;//P(u)系数
    double *A,*B,*C,*D,*E;//计算弧长所用系数
    double* matrix[4];//计算矩阵
    double tension;//参数τ
    int num;//关键点个数
    int grain;//每两个关键点之间插值点的个数（含关键点）
    bool create_flag=false;//是否已经为指针分配空间（判断是否需要delete）
    vector<QPoint> all_points;//所有点

public:
    spline();
     //生成CubicSpline曲线
    void set_Spline(vector<QPoint>& vec,int _grain,double _tension);
    //计算生成的三次样条曲线上所有插值点
    void CubicSpline(vector<QPoint>& vec);
    double calc_Total_length();  //计算曲线总长度


    void init_Matrix(); //初始化矩阵
    void init_spline_Coefficient(vector<QPoint>& vec);//计算P(u)系数

    QPoint calc_Interpolation(int i,double u);//计算内部插值点
    point calc_double_Interpolation(int i,double u);//计算内部插值点（坐标为double类型）

    vector<QPoint>& get_all_points();  //返回储存所有插值点的vector

    void init_length_Coefficient(int _num);//初始化长度计算参数
    double f(int i,double u); //f函数
    double simpson(int i,double a,double b);//求样条曲线长度
    double calc_U(double s,int i,double u1,double u2);//根据长度计算参数u的值
    void clear();//清除数据

    ~spline(){}
};

其中 set_Spline 函数根据关键点数组 vec、插值点数目 _grain、和控制曲线弯曲程度的参数 _tension 生成样条曲线所需要的计算数据
（如矩阵数值，P(u)系数等）。具体算法见源码。

其中init_Matrix 函数计算矩阵中的数值，即为 P(u)公式中的矩阵M。init_spline_Coefficient 函数计算不同曲线段中的P(u)多项式系数，即为公式中的 M*B（分 x，y 两个方向计算）。具体算法见源码。

2. CubicSpline 函数.

根据_grain 值生成不同的u 值，并计算曲线上所有插值点的坐标，储存在名为 all_points 的 vector 中。

//计算曲线上所有插值点
void spline::CubicSpline(vector<QPoint>& vec)
{
    //当没清除就再次点击生成曲线时，不清除之前的插值点，插入间隔点
    QPoint temp(0,0);
    all_points.push_back(temp);

    //根据设置的插值点个数参数，计算对应的u值
    int num=vec.size();
    double* u = new double[grain];
    for (int i = 0; i<grain; i++) {
        u[i] = ((double)i) / grain;  //u [0,1]
    }

    //根据u值和曲线参数计算插值点坐标
    for (int i = 0; i<num-1; i++) {
        QPoint p1=vec[i];
        //加入关键点
        all_points.push_back(p1);
        for (int j = 1; j<grain; j++) {
            QPoint temp=calc_Interpolation(i,u[j]);
            all_points.push_back(temp);
        }
    }
    //加入关键点
    QPoint p1=vec[num-1];
    all_points.push_back(p1);

    delete []u;
}

其中，calc_Interpolation 函数根据曲线段序号i，和参数 u 的不同值，计算具体一个插值点的坐标。

3. 编写 paintWindow 类作为画板，继承自 QWidget 类。

在paintWindow 类中编写鼠标回调函数mousePressEvent，记录通过鼠标交互选定的关键点。以及绘制函数 paintEvent，在每次update（）时调用。paintWindow 类定义具体如下：

class paintWindow : public QWidget
{
    Q_OBJECT
private:
    spline* sp;
    int grain;  //每个曲线区间有多少个插值点（包括两端关键点）
    double tension;  //参数，控制曲线弯曲程度

    bool ifDrawInpoint=false;  //是否显示插值点

    int time;//时间
    QTimer* timer;  //计时器
    QPixmap* car[5];  //储存小车位图信息

    int car_index;//显示第几种小车
    int pen_index=0;//使用第几种笔刷

    double speed;  //小车速度
    double accelerate;  //小车加速度

    point now_point;  //运动当前点
    point next_point;  //运动下一个点
    double ratio;  //旋转角度

    vector<QPoint> points;//储存所有关键点

    bool endflag=false;  //小车是否运动到曲线末端

public:
    paintWindow();

    void paintEvent(QPaintEvent *);  //绘制函数
    void mousePressEvent(QMouseEvent *e);  //鼠标回调函数

    void create_Spline(int _grain, double _tension);  //生成并显示cubicspline曲线
    void start_Move(double _speed,double _accelarate);  //小车开始运动
    void stop_Move();  //小车暂停运动
    void continue_Move();  //小车继续运动

    int numbers();  //关键点个数
    double total_length();  //曲线总长度
    double now_length();  //小车当前走过的路线长度
    int get_spline_index(double now_len);  //获取小车当前在哪一段曲线
    double get_Ratio();  //获取当前曲线斜率

    void change_car();  //改变小车
    void change_pen(QPainter& paint);  //改变笔刷
    void change_DrawInPoint();  //改变是否绘制插值点的控制变量
    QPixmap* now_car();  //当前小车位图指针

    void clear();
private slots:
    void changeState();  //连接计时器，改变小车坐标，旋转角度等信息
};

4.

鼠标回调函数mousePressEvent，记录通过鼠标交互选定的关键点。
绘制函数 paintEvent，根据数据变化，绘制所有的关键点、曲线，已经选择是否绘制插值点。

5. 引入QTimer 类作为计时器.

每隔一段时间调用 changestate 函数，改变小车坐标及旋转角度等。其中now_point 是当前小车位置，next_point 是下一个小车位置。get_Ratio 函数计算当下曲线的斜率，以及小车旋转角度。

6. MainWindow 设计及按钮槽函数

MainWindow 窗口设计如下：
图片alt

MainWindow 类设计：

class MainWindow : public QMainWindow
{
    Q_OBJECT
private:
    paintWindow* p_w;

public:
    MainWindow(QWidget *parent = nullptr);
    ~MainWindow();

private slots:
    void on_create_clicked();//绘制曲线并显示
    void on_clear_clicked();//清屏
    void on_start_clicked();//开始运动按钮槽函数
    void on_show_clicked();//展示插值点按钮槽函数
    void on_stop_move_clicked();//停止运动按钮槽函数
    void on_continue_move_clicked();//继续运动按钮槽函数


    void update_numbers();//更新关键点数目
    void on_change_clicked();

private:
    Ui::MainWindow *ui;
};